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Montag, 16. Januar 2017

Wie ich nebenbei einen mathematischen Zusammenhang entdeckte ...

... der natürlich schon bekannt war, den ich aber nicht kannte. Und das war so: Ich wollte mir eine nerdige Email-Adresse zulegen, und da ich perfekte Zahlen mag, also Zahlen, deren Teiler die Zahl selbst ergeben, wenn man sie aufsummiert, fand ich 28@ als Präfix ganz schön. [1+2+4+7+14=28]. Um dem Ganzen eine besondere Note zu geben, stellte ich 28 binär da, das sieht dann so aus: 11100. Vorher hatte ich aber schon die 6 getestet, die auch perfekt ist. Diese sah binär so aus: 110. An dem Punkt dachte ich dann: Moment mal, da scheint es ein Muster zu geben. Ich gab die nächste perfekte Zahl [496] in den Umrechner ein. Das Ergebnis war das erwartete: 111110000. Alle drei perfekten Zahlen hatten also die gleiche Binärstruktur. Das konnte unmöglich ein Zufall sein. Ich testete weitere Zahlen und das Muster setzte sich fort. In der binären Perspektive konnte man also unmittelbar erkennen, dass diese Zahlen eine besondere Struktur haben. Ich experimentierte etwas weiter rum, indem ich Binärzahlen, die noch symetrischer sind, in Dezimal umrechnete, nämlich binäre Repdigits: 11=3, 111=7, 1111=15, 11111=31. Dann googelte ich die Zahlenfolge 3, 7, 15, 31 und siehe da: Es handelte sich hierbei um Mersenne-Zahlen. Das war verblüffend. Ich fragte mich, ob es vielleicht einen Zusammenhang zwischen den verschiedenen symmetrischen Binärzahlen geben könnte, und stöberte in der Wikipedia. Und tatsächlich: Perfekte Zahlen und die Primzahlen unter den Mersenne-Zahlen haben eine Verbindung, die schon Euklid vermutet und Euler spezifiziert hatte: Alle geraden perfekten Zahlen [ob es ungerade gibt, ist offen] können mithilfe von Mersenne-Primzahlen erzeugt werden. Da man bisher aber erst 49 Mersenne-Primzahlen kennt, kennt man auch erst entsprechend viele perfekte Zahlen. Die Frage, ob es unendlich viele Mersenne-Primzahlen [und entsprechend viele perfekte Zahlen] gibt, ist übrigens weiterhin offen.

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